艾拉假設(shè)從坐標(biāo)軸原點(diǎn)到y(tǒng)=1這條直線之間分出了N個(gè)矩形，那么每個(gè)矩形的寬度就是1/N。又因?yàn)閽佄锞€的函數(shù)式是y=x2，那么第一個(gè)矩形的高就是1/N2，第二個(gè)矩形的高度就是2/N2……

        那么，所有矩形的面積之和就是：

        S=1/N×1/N2＋1/N×2/N2＋……＋1/N×N/N2

        這是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。然而，戈特弗里德曾經(jīng)教過(guò)艾拉無(wú)窮多項(xiàng)式的平方和公式。在利用這個(gè)公式將這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)化簡(jiǎn)之后，她得到了一個(gè)極為簡(jiǎn)單的算式：

        S=1/3+1/2N+1/6N2

        N越大，矩形的面積和就越接近于那個(gè)不規(guī)則圖形。那么當(dāng)N無(wú)限大的時(shí)候，矩形的面積之和S就會(huì)等于那個(gè)不規(guī)則圖形的面積。此時(shí)，1/2n和1/6n2就是無(wú)限小，完全可以舍去。

        于是這個(gè)不規(guī)則圖形的面積就顯而易了:S=1/3。

        ——無(wú)限大、無(wú)限小

        艾拉把剛剛出現(xiàn)的這兩個(gè)概念低聲念了一遍。在數(shù)學(xué)運(yùn)算中出現(xiàn)了無(wú)限的概念，讓她多少感到有些不適。

        她甩甩頭，把這種不適感拋到腦后，然后將函數(shù)式由y=x2改成了y=x3

        雖然只是輕微的改動(dòng)，但要求出面積的難度立刻大了數(shù)倍。這次，艾拉寫了整整兩頁(yè)紙，也沒能向先前一樣把公式化簡(jiǎn)。

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